행렬 0x01: 벡터 공간

원문: Ecole 42, matrix subject. “Enter the Matrix, An introduction to Linear Algebra” by Tristan Duquesne, Luc Lenôtre. 1.2ver

벡터 공간

다음은 벡터 공간에 대한 간략한 이론 목록으로, 여러번 확인하는 데 유용할 수 있다. 실용적인 응용과 이론을 함께 작업하면 점차 이해하는 데 도움이 된다. 모든 것을 즉시 이해하지 못하더라도 낙담하지 않아도 된다. 새로운 정보 생태계를 접할 때의 정상적인 현상이다.

대수학의 군 개념을 이해한다면 이 섹션을 이해하는 것이 훨씬 쉬울 것이다. 대수적 구조의 관점에서 이해하는 것은 처음에 어려울 수 있다. 새로운 많은 용어들이 등장하기 때문이다. 그러나 이 용어들은 매우 유용하다. 왜냐하면 다양한 집합의 수학적 속성을 카드 게임의 규칙을 아는 것처럼 단순한 것으로 바꿔주기 때문이다. 사실 배우기에 그렇게 복잡하지도 않다. 왜냐하면 기본적으로 복잡한 알고리즘을 배우는 것이 앙니라, 단지 용어를 배우는 문제이기 때문이다.

벡터 공간 $V$는 다음을 연관짓는 구조이다.

• 체(field) $K$. 간단히 말해 일반적인 산술 규칙에 따라 요소를 더하고, 빼고, 곱하고, 나눌 수 있는 대수적 구조이다. $K$의 요소들을 스칼라라고 한다. $K$는 일반적으로 실수나 복소수를 선택한다. 실수는 일반적으로 부동 소수점으로 나타내며 복소수는 특수한 곱셈과 나눗셈을 사용하는 두 개의 부동 소수점 쌍으로 나타낸다. 스칼라는 일반적으로 그리스 문자로 나타낸다.

• 가환군(commutative group) $V$. 간단히 말해 일반적인 산술 규칙에 따라 요소를 더하고 뺄 수 있는 대수적 구조. 하지만 반드시 곱하거나 나눌 수 있는 것은 아니다. $V$의 요소들을 벡터라고 한다. 유한 차원에서는 $V$가 항상 $K^n$과 동등하며, 여기서 $n$은 자연수이고 $n$을 $V$의 차원이라고 한다. 이는 유한 차원에서 $V$가 항상 $K$의 $n$개의 요소를 포함하는 리스트/배열/튜플로 이해될 수 있음을 의미한다. 또한 모든 체 $K$가 1차원 벡터 공간으로 이해될 수 있음을 의미한다. 벡터는 일반적으로 라틴 문자로 나타낸다.

• 스칼라 곱셈(또는 스케일링 곱셈)이라고 불리는 연산은 $K$와 $V$의 요소를 결합할 수 있게 해준다. $K$의 요소와 $V$의 요소를 더하거나 뺼 수는 없지만 $K$의 요소와 $V$의 요소를 곱할 수 있으면, 그 결과는 $V$의 요소가 된다.

스칼라 곱셈 연산은 다음 속성을 충족해야 한다.

• 스칼라 곱셈은 두 요소를 취하는데, 하나는 $K$에 속하고 하나는 $V$에 속하며, 그 결과는 $V$의 요소가 된다.

\[λ ∈ K, ∀u ∈ V, λu ∈ V\]

• 벡터에 대한 유사(Pseudo) 분배 법칙

\[∀λ ∈ K, ∀(u, v) ∈ V^2, λ(u + v) = λu + λv\]

• 스칼라에 대한 유사(Pseudo) 분배 법칙

\[∀(λ, µ) ∈ K^2, ∀u ∈ V, (λ + µ)u = λu + µu\]

• 스칼라 곱셈의 유사(Pseudo) 곱셈 결합 법칙

\[∀(λ, µ) ∈ K^2, ∀u ∈ V, (λµ)u = λ(µu)\]

• 스칼라 곱셈과 체의 곱셈 항등원의 호환성

\[∀u ∈ V, 1_Ku = u\]

선형대수학에서는 유클리드 공간(내적공간)이라는 특별한 유형의 벡터 공간도 연구한다. 여기에는 또다른 연산자인 유명한 내적(dot product, 점곱)이 추가된다. 이 연산자는 두 벡터를 받아 스칼라를 반환한다.