행렬 0x00: 선형대수학이란 무엇인가

원문: Ecole 42, matrix subject. “Enter the Matrix, An introduction to Linear Algebra” by Tristan Duquesne, Luc Lenôtre. 1.2ver

선형대수학

선형 대수학은 수학, 컴퓨터 과학, 물리에서 마주칠 수 있는 아주 중요한 주제이다.

이것은 벡터 공간에 대한 학습으로, 이는 벡터라고 불리는 개체(대상)들로 다룬다. 선형 사상(linear map)라고도 불리는 벡터의 변환은 일반적으로 행렬이라는 개체(대상)라고도 부른다. 이는 가장 일반적인 유한 차원에서의 이야기이다. 또한 더 나아가 더 복합한 벡터 공간들이 존재한다. 예를 들어 실수 또는 복소수 다항식, 함수 공간이 있다. 선형대수학은 이러한 다양한 주제들을 통합된 틀 안에서 연구할 수 있게 하는 학문이다. 선형대수학은 복잡한 상황의 이야기를 이해하기 쉽게 만든다. 왜냐하면 복잡한 상황에서의 속성은 일반적으로 간단한 상황과 동일하고 간단하게 만든 상황을 통해서 복잡한 상황을 시각적으로 쉽게 상상할 수 있다. 이러한 이유로 우리는 유한 차원(특히 2차원, 3차원)의 벡터와 행렬 기본적인 경우를 학습할 계획이다. 이는 쉽게 시각화가 가능하다.

그럼 선형대수학의 사용예는 어떤 것이 있을까?

뉴턱 역학(인간 규모의 모든 운동에 관련된)은 벡터로 가득하다. 더 나아가 이보다 더 복잡한 모든 형태의 물리학는 일반적으로 선형대수학에 의존되고 선형대수학의 확장인 미분기하학, 위상수학, 미분 기하학, 텐서 대수, 연산자이론 등으로 확장된다. 또한 양자역학을 복소수에 대한 선형 대수와 다변수 미적분학이라고도 설명할 수 있다. 일반 상대성 이론은 미분 기하학과 텐서 대수를 화려하게 사용한 것이다. 신호 이론 조차도 선형 대수의 ‘느낌’을 가질 수 있다. 신호는 기본적으로 함수에 불과하며, 수치적 함수 공간은 벡터 공간의 특별한 경우일 뿐이다.

또한 비디오 게임은 근본적으로 재미가 있는 물리 시뮬레이션이다. 그래서 비디오 게임에서는 선형 대수를 많이 사용한다. 마리오가 점프하게 할려면 마리오를 위로 밀어 올리는 점프 임펄스 벡터와 다시 내려오게 하는 중력벡터가 필요하다. 또한 점프 곡선을 만들기 위한 2차 방정식이 필요할 수 있다. 영화 수준의 CGI를 만들고 싶다면 레이 트레이싱이 있다. 이는 빛이 작동하는 원리를 시뮬레이션하는 기술이다. 이는 광선이라고 불리는 벡터의 반사이다. 이러한 모든 개체는 주로 선형 대수를 통해 정의된다. 그뿐만이 아니라 2D와 3D, 즉 차원의 개념은 선형 대수에서 비롯된 용어이다. 컴퓨터 그래픽스는 벡터와 행렬 변환으로 가득하다. 2D 스프라이트를 회전시켜 불꽃 스펠을 만드는 것이 행렬이다. FPS 게임을 위한 3D 카메라를 만드는 것도 행렬이다. GPU는 기본적으로 선형 대수 연산을 처리하기 위해 발명되었다. 그러한 이유로 고성능 컴퓨팅과 수치 해석은 선형대수학에 많이 의존한다.

통계학(데이터 사이언스, 머신러닝)도 선형 대수를 기반으로 두고 있다. 수치 데이터는 종종 대규모 벡터 공간(large dimensional vector spaces)에서 벡터(데이터 포인트 클라우드)로 표현된다. 통계 개념과 선형 대수 연산 사이에는 유사점이 있다. 선형 대수의 기하학을 이해하는 것은 통계의 기하하적 기초를 이해하는데 매우 유용하다.

• 통계 개념: 공분산, 분산, 표준 편차, 피어슨 상관 계수, 가우시간 곡선 정규화
• 선형 대수 연산: 내적, 이차 놈, 놈, 두 벡터 사이 각도의 코사인, 벡터 정규화

선형 대수와 션형대수의 확장의 사용 예시는 암호학에서 생태학까지 매우 많다. 여기에서 언급한 내용은 가장 많이 사용되는 사례들이다. 일단 선형대수학을 배우게 되면 주변에서 더 많은 것이 보이게 될 것이다.

중요성. 선형대수학을 배우는 데 필요한 조건이 기본 산술을 제외하면 거의 없다는 점과 선형대수학이 수학과 과학의 연러 분야에 길을 열어준다는 점 때문에 선형대수학은 전 세계적으로 고등 수학에 대한 표준 입문 과목으로 선택되었다. 선형대수학이 실제로 얼마나 유용한지 여러분도 우리만큼 즐기길 바란다.